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形式逻辑的死穴:无穷问题

江上郎 发表于:04-12-16 10:51
 芝诺悖论

跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙,但乙比甲先行一段距离,甲为了赶上乙,须超过乙开始的A点,但甲到了A点,则乙已进到A1点,而当甲再到A1点,则乙又进到A2点,依次类推,直到无穷,两者距离虽越来越近,但甲永远在乙后面而追不上乙。古希腊的理性传统促生了柏拉图和亚里士多德这样的伟大的思想家,但芝诺悖论却让古希腊理性传统受到了致命的挑战,芝诺使得世人只能陷入这样的犹豫:逻辑,还是事实,这是个问题!

根号2悖论

毕达哥拉斯学派,这个曾今显赫一时的融数学、哲学、宗教于一体学派结果却是被一个名字叫作“根号2”的东西终结了。他们在做几何测量的时候发现一个问题:当等腰直角三角形的直角边等于1的时候,那么斜边是多少?绞尽脑汁推理计算也无法算出这个数来,但事实上这个由直角边为1的等腰直角三角形的斜边的存在是不可否认的。这个问题让迷信数字的毕达哥拉斯学派陷入了恐慌,为了保证学派的信仰的尊严,他们于是封锁消息,禁止成员向外泄露,据说一个泄露了这个秘密的人被无情地抛进了大海。在我们今天看来,其实很好解释,把毕达哥拉斯学派送上归路的其实正是无穷问题。

休谟悖论
我们看到的天鹅都是白的,能否得到结论:所有的天鹅都是白的?太阳从来都是从东方升

起,我们能否肯定明天太阳一定从东方升起?休谟认为,不能。我们所得到的结论只能在我

们的经验范围内有效,超出了我们的经验,我们完全不敢保证。休谟从经验主义原则出发得

到了这样的结论:由培根所开创的归纳法并没有充足的理由得到任何全称命题。归纳法破产

了,经验主义破产,归纳法和经验主义为什么会破产,就是因为它们遭遇了无限的问题。

贝克莱悖论

十七世纪后期,牛顿、莱布尼兹创立微积分学,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得了巨大成功,然而,微积分学产生伊始就遭到了怀疑,原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上,而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年,大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子,在这本小册子中,他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言,它必须既是零,又不是零。而从形式逻辑角度而言,这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论,动摇了人们对微积分正确性的信念,在当时数学界引起了一定混乱,从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。微积分产生后,一方面在应用中大获成功,另一方面其自身却存在着逻辑矛盾,即贝克莱悖论,也就是说,正确的(尤其是在几何应用上是惊人的)结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。

傅立叶悖论

微积分产生之初,对基础不牢的指责,以及由此引发的争论,一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在十八世纪,它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的十八世纪后,数学建筑扩大了,房子盖得更高了,而基础却没有补充适当的强度。十八世纪粗糙的,不严密的工作导致谬误越来越多的局面,不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。
  无穷级数S=1-1+1-1+1………到底等于什么?
  当时人们认为一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面,S=1+(1-1)+(1-1)+………=1,那么岂非0=1?这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解,甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

后,令=-1,得出S=1-1+1-1+1………=1/2!
  由此一例,即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题,如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。

柯西与康托尔的努力

柯西于1820年研究了极限定义,并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明,使微积分学有了较坚实的理论基础,同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一,他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”,不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ ”方法和函数极限的“ε-δ”方法,把微积分奠基于算术概念的基础上,获得了圆满解决。其二,他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系,这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
  康托尔以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。他从研究“收敛的傅立叶级数所表示的函数存在不连续”这一事实,提出无穷集合的概念,并以一一对应关系为基本原则,寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势,利用势他将无限集进行了分类,最小的无限集为可数集a,即指与自然数集等势的无穷集。进一步,康托尔证明实数集的势c>a,一切实函数的势f>c,并且对任何一个集合,均可造出一个具有更大势的集合,即是说没有最大的势。鉴于此,1896年康托尔根据无穷性有无穷多学说,制订了无限大算术,对各种无穷大建立了一个完整序列,他用希伯来字母表中第一个字母阿列夫来表示这些数。于是, 直至无穷。无穷集合自身又构成了一个无穷序列。这就是康托尔创立了超限数理论。康托尔的工作,在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言:上帝创造了自然数,其它都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作,称“康托尔走进了超限数的地狱”,更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为“雾中之雾”。前后经过20余年,康托的工作才最终获世界公认,并赢得极大赞誉。罗素称赞说:“Cantor的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超限理论为“数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中,无穷集合是被看作一个现实的,完成的,存在着的整体,是可认识,可抓住的东西。

 极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上,而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来,进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来,实数论的融贯性就归于集合论的融贯性,归结到集合论,看来数学绝对严格的目的要达到了。1900年在世界数学家大会上,著名数学家庞加莱郑重宣布:“现在我们可以说,数学最终的严格性基础已经确立了。”表达了数学家们欣欣自得的共同心情。尤其通过康托尔的工作,数学家们找到了营造数学大厦的基石:集合论。而他的无穷集合,也就成了数学家们的伊甸园。

罗素悖论

“集合论是有漏洞的!”正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉,并陶醉于数学绝对严格性的时候,一个惊人的消息迅速传遍了数学界,这就是1902年罗素提出的罗素悖论。
  危机正是由康托尔研究的无限集合引发的。罗素构造了一个集合U,U由所有不属于自身的集合组成,U显然存在,但U是否属于自身呢?无论回答是否都将导致矛盾,这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明,以致几乎没有什么可以辩驳的余地动摇了整个数学大厦的基石:集合论。“绝对严密”“天衣无缝”的数学,又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。  

危机产生后,包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统,使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上,从而避免了罗素悖论的产生,在表层上解决了第三次数学危机。

实无限与潜无限

  认真考察无穷在数学中的发展历程,可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念:实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指:“把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的)过程。所谓实无限思想是指:把无限的整体本身作为一个现成的单位,是已经构造完成了的东西,换言之,即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。
  亚里士多德只承认潜无限,使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后,实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的,在其理论中,无穷小量被看作一个实体,一个对象,正因此,早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用,因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊,导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代,实无限已开始被抛弃了,尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中,随着重建微积分基础工作的完成,无穷小量被拒之于数学大厦之外,无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了,而代之以“无穷是一个逼近的目标,可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中,并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论,使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而,到本世纪六十年代,A鲁滨逊创立的非标准分析,使无穷小量再现光辉,荣归故里,重新堂而皇之的登进数学的殿堂,而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其,在康托尔的无穷集合论中,体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想。标准分析与非标准分析的使用表明:用两种不同的无穷思想为据,采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊途同归的结局,意味着两种无穷思想可以相融共生。
  在数学无穷发展历程中,我们已经看到征服无穷的路途中,悖论是一次次出现:芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说,历经几百年,数代数学家的艰苦努力,建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除,矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白:任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途本身就是个极限过程。

 江上浪难静 
 风雨任平生 
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鲤城 发表于:05-01-29 09:31 0
2
江郎: 很久看不到你了,现在如何? 开始转向赚钱了吗?

曹小旦 发表于:05-01-30 17:12 0
3

老麻花兄:

以前多有得罪.不好意思.有机会多敬你几杯.

你给我的头像,我老粘不上.

 责任、理性、气派。 
大一统

鲤城 发表于:05-01-30 22:43 0
4
小旦好啊!  放假回闽了吗?

江上郎 发表于:05-01-31 16:03 0
5

鲤兄,我没赚钱的本事,混口饭吃而已。

不知道小旦考研结果如何?

 江上浪难静 
 风雨任平生 
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_limbo 发表于:10-01-22 11:12 0
6
上面的休谟悖论,我感觉有待商榷。
我们知道休谟把命题分为“关于观念间关系的命题”和“关于事实的命题”,而两种命题的真值函项与赋值方式是不同的,这种区分和操作如同传统逻辑一般,例如莱布尼茨。逻辑真的根据在于观念间的关系,这种关系是先天的。在休谟那里,从印象和观念出发无法观察到观念间的先天关系,如休谟说,他所谓的印象或观念是指“知觉本身”,而不是“知觉呈现在心灵中时的方式”。也就是说,关于观念间的关系的命题的真来源于对知觉方式考察,这个维度上休谟通过抽象理论试以回答。而关于事实的命题的真则来自于知觉本身,在知觉流本身中,根据惯性原则和相似原则,通过心理的事实的习惯性而给予此类命题以赋值。显然,休谟的逻辑不能简单说是遇到了无限性的问题而面临诘难。例如,在休谟当时,牛顿和莱布尼茨的微积分的思想已然出现,而无限性的问题也不在是得到朴素的回答了,所以休谟也当然不会去用朴素的语言(非符号语言)去回答无限性的问题,亦即我感觉休谟的逻辑之思并不是主要地回答无限性的问题的。而其精华则在于一种现象主义的抽象理论。