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以极限论来对付芝诺悖论

江上郎 发表于:03-07-29 14:15
原载:极限论哲学网http://jixianlun.zijian.net(极限论坛)

以极限论来对付芝诺悖论
作者:元江

读网友们关于芝诺悖论的讨论,不觉勾起兴趣,也来聊几句。

芝诺的命题在哪一年遭遇的是记不得了,大概是在知道“一尺之棰,日取其半,
万世不竭”之后。这两个命题有其共通之处,那就是都把一个有限长度不断地做
对半分割。两个命题不同之处在于结论,“分棰”命题的结论直指核心,所谓
“万世不竭”;而芝诺命题则弄了一点花巧,比如阿喀琉斯到达不了终点。弄花
巧是要有代价的,第奥根尼就以走来走去来表达对芝诺命题的否定。(说起来,
用实验验证理论,第奥根尼还先于迦利略)。我以为,芝诺命题之所以被称为悖
论,并不是芝诺的陈述本身有何相悖之处(如集合论中的理发师悖论),而是芝诺
命题与我们的经验不符,如第奥根尼所显示的。那么,这样一个与经验不符的陈
述,或者显然荒谬的陈述,为什么在数千年后还要激动一坛网友,争辩不休呢?

高手对招,先要看清对方武功的来路。剖析芝诺命题,自然就得先察看芝诺命题
赖以立足的逻辑。芝诺命题和“分棰”命题中的长度对分,可以抽象为数学中的
序列问题,1,1/2,1/4。。。。其论证所依赖的在古时是从经验中抽出来的逻
辑。从现在的观点看,芝诺命题在前N步的成立是可以用数学归纳法论证的,第
一步可分,设第N步可分,则眼证第N+1步也可分。到这里为止都不错,这也是芝
诺命题得以传世的原因。但芝诺命题的凶险之处是把数学归纳法中的这个N推广
到“无穷”(在数学归纳法中,N是一个数,不管多大)。只要想一想就可知道,
如果没有这个“无穷”的推广,不管N是多大的一个有限数,芝诺敢说阿喀琉斯
会到达不了终点么?庄子能说“一尺之棰,日取其半,万世不竭”么?

这样看来,理解,破解芝诺命题这个关键是对“无穷”(或“无限”)这个概念的
把握。“无穷”(或“无限”)这个概念到底包含着什么?我在这里下一个断语,
这个概念下所包含的是我们的无知。“无知”的引进反衬出我们对“可知”,
“已知”的知识的把握。(打住,多说了要引起一夥哲学家打上门来了:-))。

在近代,数学的进步使我们对“无知”的领域有了一点认识,其中,极限论的出
现使我们能破解芝诺命题。

试看极限论是怎样对付这“无穷”的。

对于1,1/2,1/4。。。这个对分序列,极限论给出一个极限为零。这一点在坛
上的网友怕是尽人皆知。不过,极限论破解芝诺命题的奥妙恐怕不是会求极限的
人都知道的。

极限论对付这个芝诺的“无穷”,并不硬顶,而是让这“无穷”尽展所长,刚好
在其“展尽”之处,放下一个零。亦即在分了“无穷”多次后,不可在分。呵呵,
戏法人人会变,这“无穷”可不是芝诺的专利。

这一来,如是芝诺要避免这个不可再分的零,就不能用“无穷”,不过一旦步数
有限,芝诺命题就不成立。是则有限步数芝诺命题不成立,无穷步数芝诺命题也
不成立。这是置芝诺命题于两难的境地。

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发表于:03-07-29 17:38 0
2

不懂,不懂,头疼,头疼!“无穷多次”是可以展尽的么?如果展尽了那不是成了有限的了么?江先生能说明一下么?


无为--zht258 发表于:03-07-29 19:52 0
3

1、帅哥的提问切中了本文的关键。
“在其“展尽”之处,放下一个零。亦即在分了“无穷”多次后,不可在分”
“在分了“无穷”多次后”与“无穷”是相矛盾的。


江上郎 发表于:03-07-29 22:15 0
4


回复者:闲云野鹤

楼上关于芝诺悖论的解决方案是一种解释得通的方案,数学上无穷的尽头的确是个零,这样“无穷”本身成为有穷,这比之哲学上用对立统一观点来解释更好。

希腊赛跑冠军阿基里斯追不上先爬一步的乌龟,是与我们经验到的事实明显相悖的。的确如楼主所说,问题出在无穷、无限的理解上。那么无穷的次数是多少呢?我认为这就不是思辩中的问题而是个事实问题了。


其实无穷无尽只是我们人的思维超越经验的的一种想象,经验上我们可以把“一尺之棰”分1次、2次、3次直到N次。问题是这个N次不可能事实上是无穷尽的,N的次数事实上取决于我们分割用的工具。比如我们用一把钢锯去分割一尺长的木棍,当分割到只剩下1毫米时(每次分割都会损失掉1毫米长度的木辊,因此1毫米就是钢锯的最小测量值),分割就到尽头了,因此分割的次数最多只有7次(1尺=33厘米=330毫米,锯片厚度=1毫米,)。如果用激光去分割,可能次数更多。不管怎样,我们用现实的工具去分割,分割的次数总是是有穷的而不是无穷的。

我们之所以得出这样的悖论,是因为头脑里的分割工具是抽象的厚度为零的工具,当然可以无限地分割下去。而当分割工具的厚度大于零时,分割的次数就是有限的了。即在思维中可以无限地分割下去,而在实际使用分割工具时只能有限地分割下去。

可见,悖论总是思维超越经验的结果,所以第奥根尼就以走来走去来表达对芝诺命题的否定。
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回复者:哲山隐樵
讨论]芝诺悖论已经被解决了没有?
这个问题涉及到数学、物理学、逻辑学和思辨哲学,至今没有令人满意的解决。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
可悲可叹!
如今的人几乎百分百的(嘻嘻,当然这个论坛里的人不算了。)被训练成了极具外貌的无思天才。
要提供一个能让这些人感到满意的解决方案,确实是一个天大的难题!
难就难在,这些人自以为学得了许多有关物理、数学,乃至逻辑学和思辩哲学的知识,但实际上对这些知识其实还是一无所知。
但是从表面上却看不出任何的问题。
为了弄清这一问题的实质,我们不妨想象一下如下的过程。
比如,通过按下 Print Screen Sys Rq键或用某一个抓图软件抓下论坛的页面。
这时仅就肉眼的表面观察一般人是看不出任何的差异的!
但是不是有人会承认那一抓下的页面就是等于爱智论坛本身呢?
当然不是。因为通过这种方式复制,复制下来的只是论坛的页面,而缺少隐藏着的各页面间的链接。
因此,尽管抓下来的画面,在外表上象及了论坛的页面,但无论人在上面如何点动鼠标,它始终一付严然无动于哀的高昂恣态。
真是一个非常戏剧性的场面。
为了一窥这一戏具性的场面我们不妨先温习一下,我们这里每一个人都在初中时学过的(记得不太准,上初中时大部分时间是揣着语录本渡过的。)有关运动的公式:
V=S/T
对于任何一个真正学会了这一公式的含义的人都会明了这一点;
当一个物体的运动速度是另一物体的运动速度的二倍时,前者走过同样的距离S时所花费的时间将是后者的一半。
其实,人善长的只是思想,说到运动并非人的强顶。
因此,也为了一种求解上的简单,就假定阿某的速度就是乌龟的二倍吧。
再假定一下,乌龟先于阿某走过的距离就是阿某一秒种所能跑过的路程,并将此路程定义为S。
于是阿某跑完这段距离所需的时间就是一秒。
在这段时间内乌龟又会向前爬过S/2的路程。
于是阿某跑到第二点的所需的时间就是1/2秒。
而在这一段时间内乌龟又会向前爬过S/4的路程。
于是阿某跑到第三点所需的时间就变成了1/4秒。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
于是我们最终就可以得到阿某赶上乌龟所需的时间是
T=1+1/2+1/4+1/8.............1/(2的n次方)
(由于等数右边的n是一个无穷大,要想求的上述的和还真需要一点想象力,因为,他实际上不是求,而是证。有谁好奇的话到可以试试。)
也就是说再这种假设前提下阿某说不定只要几秒种就能赶上乌龟了。
难道说我们人类所谓的永远就这么短吗?
:)
悖论的产生,实际上就是源于对概念内涵把握上的差异。
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回复者:小诗语
极限对付不了无限。
真实运动模式是:1,2,3,4,。。。。。
而不是:1,0.1,0.01,0.001.........
这是芝洛悖论产生的第一个问题。
快者的1大于慢者的1。
这是芝洛悖论产生的第二个问题。
运动的物体是不连续的。速度越快,进入另一个空间的部分就越多,看上去就越模糊。但1大于光速时,物体就会在这个空间消失。运动过程是连续变界的。你如果明白这个问题就会知道,为什么物体运动的时候要比静止的时候少一些。
你明白了以上的问题,芝洛悖论就解决了。
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回复者:波澜不惊
芝诺问题的解决方案就是微积分理论
对应于无限小距离的时间也是无限小的
dl(无限小的距离)=v(速度) x dt(无限小的时间)
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回复者:小诗语
如果使用极限论去计算就一定会得出“飞箭不动”。
微积分根本解决不了这个问题。
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回复者:free
0.9999999999........和1的关系

两者之间的距离被无限微观化了,而且是在两者决不可能重合的假设前提之下,跟时间没有关系。
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回复者:田地人
芝诺悖论,在于把数学问题与物理现象混为一谈。
江先生找到了极限阀值!
闲云板主之论甚是明了。





无为--zht258 发表于:03-07-29 23:28 0
5

因为悖论本身是一种语言形式的游戏,一方面存在人们对语言文字理解上的差异的问题(没有达成共识),一方面有不能用实践的方法检验的问题,比如涉及无穷的时候,人们为此争论不休是没有结果的,也是没有多少现实意义的。
 我想如果排除上面两种因素,悖论就不会发生。

补充日期: 2003-08-01 01:28:22

极限论是不能真确解决芝诺问题的。
因为芝诺问题是个涉及无穷的问题,无穷意味着它永远是动态的。
而极限论呢,虽然它表面上看也是动态的,但是它的实质是静态的,因为极限值的存在。
用实质是静态的极限论是不能解决动态的芝诺问题的。


落寞刀客 发表于:03-08-01 20:06 0
6

挥手在天空抡了个圆
 
似已是“思辨”的尽头
 
哈哈,人呀
  我在分裂 
   两个 
 一个鲜衣亮马 
 一个残履污袖 


hxl268 发表于:09-12-01 04:50 0
7

一、极限论极难学的真因:常人拒绝思想混乱的理论                                                                                                                                      

有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数,建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的,须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年糊涂话。最关键要弄清j式

0<ρ=1/n<任意给定的正数ε

中的ε是在哪一范围内任意给定的数?能否在所有正数中任意给定?不能说清此一不通则百不通的最关键问题,就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然,应试教育会使人不正常。常人都能明白:

j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε,“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变量,然而极限论又说无正数<ε:“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数<ε;而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念,即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”([1]书145页)表明莱大师敏锐地不否定有正数<ε而不搞自相矛盾。

  [3]书在“一、序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”(100页)。而正数集的元都是固定正数。无正数<ε=只有非正数及可取非正数的变数才可<ε。于是j式是一目了然的百年糊涂话: ①只取正数的ρ所取各数ρ均 <ε,但却又无<ε的正数——这又=说ρ可取非正数——非常混乱啊!②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句!

[4]文第1节:“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’,然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数<ε,这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。”

  参考文献

  [1]M•克莱因著、李宏魁译,数学:确定性的丧失[M],长沙:湖南科技出版社,1999.4:323。

    [2]黄小宁,再论极限论总难学难教的真正原因:有自相矛盾的百年糊涂话[J],科技信息,2008(1):29。

  [3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组,常微分方程与无穷级数[M],北京:人民教育出版社,1978。

  [4][5][6]黄小宁,50字纠正五千年重大错误:任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”:无最大自然数[J],科技信息(学术版),2008(21);极显然:自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误:将两异集误为同一集[J],科技信息,2009(26);百年集论使人犯极荒唐常识错误:0-1010=0——再论形如{1,2,3,…,n,…}一般都有末项[J],科技信息,2009(1)。

  [7][8][9]黄小宁,百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J],科学中国人,2009(4);驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J],今日科苑,2009(16):267;再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J],教育前沿,2007(12):110。

  [10][11]黄小宁,极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误;极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾;见:中国教育创新教师论坛[C],北京:人民日报出版社,2003.9:367—369。

  [12]黄小宁,教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0,见:中国学校教育研究•数学•计算机卷[C],北京:中国民主法制出版社,2004.3:8。

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